harmonisk funktion

En harmonisk funktion er en løsning til Laplaces differentialligning \(\Delta h = 0 \).

En reel funktion \(h\) af \(n\) reelle variable \( (x_1, x_2, \dots, x_n) \) er således harmonisk i sit definitionsområde \(G\) tilhørende talrummet \(\mathbb{R}^n\), hvis

\[\frac{\partial^2 h}{\partial x^2_1} + \dots + \frac{\partial^2 h}{\partial x^2_n} = 0\]

i hele området \(G\). En harmonisk funktion er (reelt) analytisk og har den karakteristiske egenskab, at værdien i et punkt \(x\) altid er lig med middelværdien af funktionens værdier over en vilkårlig kugleflade med centrum i \(x\) og indeholdt i \(G\).

En harmonisk funktion af én variabel er det samme som en affin funktion, dvs. en funktion, hvis graf er en ret linje.

En harmonisk funktion af to variable er i det væsentlige det samme som realdelen af en holomorf funktion. En kuglefunktion i \(\mathbb{R}^n\) er et homogent polynomium af \(n\) variable, som tillige er en harmonisk funktion. Harmoniske funktioner spiller en vigtig rolle i potentialteori.